Исбот кунед, ки \(2\sqrt{a}+3\sqrt[3]{b}\geq5\sqrt[5]{ab}\),

агар \(a\geq0\) ва \(b\geq0\) бошад.

\(2\sqrt{a}+3\sqrt[3]{b}\geq5\sqrt[5]{ab}\)

\(2\sqrt{a}+3\sqrt[3]{b}=\sqrt{a}+\sqrt{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{b}=\)

\(=5\cdot\frac{\sqrt{a}+\sqrt{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{b}}{5}\)

\(\frac{a_1+a_2+...+a_n}{n}\geq\sqrt[n]{a_1\cdot a_2\cdot...\cdot a_n}\)

\(\frac{\sqrt{a}+\sqrt{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{b}}{5}\geq\)

\(\geq\sqrt[5]{\sqrt{a}\cdot\sqrt{a}\cdot\sqrt[3]{b}\cdot\sqrt[3]{b}\cdot\sqrt[3]{b}}=\)

\(=\sqrt[5]{\sqrt{a^2}\cdot\sqrt[3]{b^3}}=\)

\(=\sqrt[5]{a\cdot b}\)

\(5\cdot\frac{\sqrt{a}+\sqrt{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{b}}{5}\geq\)

\(\geq5\sqrt[5]{ab}\)

Яъне

\(2\sqrt{a}+3\sqrt[3]{b}\geq5\sqrt[5]{ab}\)

Исбот шуд.